# Tableaux method
真值樹法
四、請以真植樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。(10%)
(105)
$$
(\exists x )(\forall y) (Px \land (Qy \to Rxy)), (\exists x )(Sx \to Qx) \vdash (\exists x)(\exists y) Rxy
$$
答.
![[basic-logic/---attachments/logic-problem-4-2025-11-15-02-28-52.svg]]
由真直樹法可看出有無封閉的枝幹, 所以這為**無效論證**. 反例結構為如下:
$$
\array{
\text{domain} : \set{a,b} \\
\lnot Sx : \set{a,b} \\
\lnot Qx : \set{a,b} \\
Px : \set{b} \\
\lnot Rxy : \set{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
}
$$
---
四、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。(20%)
(106)
(a)
$$\array{
(\forall x)(Ax \to (\exists y)(\lnot By\land Cyx)),(\forall x)(\lnot Bx \to Dx),(\forall x)(Dx \to Ex) \\
\vdash (\forall x)(Ax \to (\exists y)(Ey \land Cyx))
}
$$
答.
![[basic-logic/---attachments/logic-problem-4-2025-11-15-04-13-57.svg]]
由真直樹法可看出所有枝幹都封閉, 所以這為**有效論證**.
(b)
$$
(\forall x)(Px \to Mx), (\forall x)(Mx \to\lnot Sx ) \vdash (\exists x)(Sx \land \lnot Px)
$$
答.
![[basic-logic/---attachments/logic-problem-4-2025-11-15-04-33-51.svg]]
由真直樹法可看出有無封閉的枝幹, 所以這為**無效論證**. 反例結構為如下: $$
\array{
\text{domain} : \set{a} \\
\lnot Sx : \set{a} \\
Mx : \set{a} \\
Px : \set{a}
}
$$
---
四、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例節構。 (20%)
(107)
(a)$$
(\forall x )(Gx \lor Hx ), (\forall x)(Hx \to Kx) \vdash (\forall x)Gx \lor (\forall x)Kx
$$答.
![[basic-logic/---attachments/logic-problem-4-2025-11-15-05-31-59.svg]]
由真直樹法可看出有無封閉的枝幹, 所以這為**無效論證**. 反例結構為如下: $$
\array{
\text{domain} : \set{a,b} \\
Gx : \set{b} \\
\lnot Gx : \set{a} \\
Hx : \set{a} \\
\lnot Hx : \set{b} \\
Kx : \set{a} \\
\lnot Kx : \set{b} \\
}
$$
(b)$$
\array{
(\exists x)Lx \to (\forall x)(Kx \to (\exists y)Mxy) , (\forall x)(\forall y)(Mxy \to Nx)
\\
\vdash (\forall x)((Lx \land Kx)\to (\exists y)Ny)
}
$$
答.
![[basic-logic/---attachments/logic-problem-4-2025-11-15-06-32-07.svg]]
由真直樹法可看出所有枝幹都封閉, 所以這為**有效論證**.
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